Programma del corso

Il seguente programma è puramente indicativo e potrebbe essere leggermente modificato durante il semestre.

Fondamenti

  • Richiami di logica e di teoria degli insiemi: i simboli della logica formale; insiemi ed operazioni sugli insiemi; insiemi complessi, relazioni, funzioni.
  • I numeri reali: numeri naturali, interi e razionali; numeri reali; potenze, radici, logaritmi.

Funzioni di variabile reale e successioni

  • Funzioni reali: proprietà elementari; funzioni elementari; le funzioni in geometria.
  • Successioni: proprietà elementari; alcune successioni notevoli; il fattoriale.

I numeri complessi

  • Il piano complesso: definizioni ed operazioni tra numeri complessi; il diagramma di Argand e le formule di De Moivre.
  • Numeri complessi ed equazioni algebriche: radici di numeri complessi; equazioni algebriche.

Limiti e funzioni continue

  • La nozione di limite.
  • Proprietà dei limiti: unicità del limite; teorema della permanenza del segno; teorema del confronto; operazioni algebriche sui limiti; sottosuccessioni; limite di funzioni composte; successioni e funzioni monotone; qualche disuguaglianza e alcuni limiti notevoli; il teorema “ponte”; infiniti, infinitesimi e confronti; i simboli di Landau.
  • Limiti notevoli: potenze, esponenziali e fattoriali; limiti trigonometrici; il numero “e”; altri limiti notevoli contenenti esponenziali e logaritmi.
  • Nozioni di topologia: punti esterni, interni, di frontiera e di accumulazione; insiemi aperti e chiusi; teorema di Bolzano-Weierstrass; compattezza; successioni fondamentali.
  • Funzioni continue: definizioni; teorema dell’esistenza degli zeri; continuità della funzione inversa.
  • Funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato: teorema di Weierstrass; continuità uniforme e teorema di Heine-Cantor.

Derivate e studio di funzioni

  • Definizioni: definizione ed interpretazione geometrica; derivate di ordine superiore.
  • Proprietà elementari delle derivate: calcolo delle derivate; derivate delle funzioni elementari.
  • Funzioni derivabili in un intervallo: teorema di Fermat; teorema di Rolle; teorema di Lagrange; teorema di Cauchy.
  • Approssimazione di funzioni: formula di l’Hôpital; formule di Taylor con resto di Peano; formule di Taylor con resto di Lagrange.
  • Studio di funzioni: monotonia ed estremi; convessità; asintoti; metodo generale per lo studio di una funzione; le funzioni iperboliche.
  • Continuità, derivabilità, differenziabilità in piú variabili: definizioni ed esempi; il teorema della Derivata Totale e le sue conseguenze.

Integrali

  • Definizione di integrale di Riemann: somme superiori ed inferiori e loro proprietà; definizione dell’integrale di Riemann.
  • Funzioni integrabili: un criterio di integrabilità; integrabilità delle funzioni continue; integrabilità delle funzioni monotone.
  • Proprietà dell’integrale di Riemann: linearità ed additività; il teorema fondamentale del calcolo; integrazione per sostituzione; integrazione per parti.
  • Metodi di integrazione: integrazione di funzioni razionali; integrazione di funzioni razionali di x e radicali quadratici in x; integrazione di funzioni razionali di seno e coseno; altri esempi.
  • Integrali impropri: definizione di integrale improprio; criteri di convergenza; convergenza assoluta.

Cenni sulle equazioni differenziali

  • Equazioni differenziabili a variabili separabili.
  • Uno strumento utile: esponenziale, seno e coseno nel piano complesso.
  • Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.

 

Annunci